برآوردهای پارامتر

در این فصل مفاهیم و تعاریف اولیه را که در طول این پایان نامه به آنها نیاز داریم، معرفی می‌کنیم و به ویژه به معرفی خطاهای ارزیابی کالاها، توزیع دوجمله‌ای آمیخته و برآورد بیز می‌پردازیم.
در مسائل کنترل کیفیت لازم است که کارایی دستگاه را با دسته‌بندی کالاها به دو دسته مطلوب و نامطلوب ارزیابی کنیم. دو نوع خطا در طی این بازرسی ممکن است رخ دهد که به خطاهای نوع اول و دوم معروفند.
1-2 توزیع دوجمله‌ای آمیخته
فرض کنید بازرسان تولید در یک کارخانه برای ارزیابی کیفیت تولید محصولات، یک نمونه تصادفی با حجم از خروجی کارخانه انتخاب می‌کنند و سپس هر کالا در این نمونه به طور مستقل بارتوسط بازرس ارزیابی می شود که در نتیجه آن کالا را مطلوب یا نامطلوب تشخیص می دهند. اگر احتمال خطای ارزیابی وجود داشته باشد، را احتمال این که کالای مطلوب به اشتباه نامطلوب ارزیابی شود و را احتمال این که کالای نامطلوب، مطلوب ارزیابی شده باشد، تعریف می‌کنیم. درعمل منطقی آن است که هر دو احتمال را حداکثر در نظر بگیریم احتمال این که کالا خود واقعا مطلوب وقابل استفاده باشد، با نشان می‌دهیم. (در واقع را می‌توان نسبت کالاهای مطلوب در خروجی کارخانه تلقی نمود. )
فرض کنید متغیر تصادفی برنولی متناظر با امین ارزیابی برای امین کالا باشد. به عنوان مثال نشان دهنده ‌این است که سومین ارزیابی از دومین کالا آن را مطلوب تشخیص دهد. در این صورت تعداد ارزیابی‌هایی راکه برای کالای i ام به تشخیص مطلوب منجر شود، با نشان می‌دهیم.
قضیه 1-1 با شرایط بالا، متغیر تصادفی دارای توزیع دوجمله‌ای آمیخته می باشد وتابع احتمال آن را می توان با رابطه زیر نشان داد:
(1-1)
اثبات:
بلیسچک (1962و 1964) با معرفی توزیع آمیخته‌ای از توزیع دوجمله‌ای که در رابطه (2-1) نشان داده شده، برآورد گشتاوری را برای پارامتر و و نیز توزیع مجانبی و کارایی نسبی برآوردگرهای گشتاوری را به وسیله کران پایین کرامر رائو به دست آورد، اما قبل از به دست آوردن برآوردگرهای گشتاوری نشان داد که قابل شناسایی بودن مدل آمیخته تحت محدودیت روی پارامترها یک شرط لازم می باشد.
جایی که:
شیسونگ و همکاران (1986) روش هایی درباره برآوردهای پیشنهاد شده توسط بلیسچک (1962) ارائه دادند.
روش گشتاورها به طور گسترده در برابر روش ماکزیمم درستنمایی استفاده می‌شود، چون کارایی و سادگی برآوردهای پارامتر آمیخته‌ای از دو توزیع دوجمله‌ای را فراهم می‌کند.
ون ویرنگن (2005) آمیخته‌ای از بیش از دو توزیع دوجمله‌ای را مطرح کرد و در مورد آن بحث کرد. وقتی که ارزیابی‌ها تکرار می‌شوند، یک راه حل شهودی این است که معیار بیشترین فراوانی را به عنوان ارزیابی نهایی داشته باشیم. اگر روش دسته بندی مکرر را به کار بریم، در نهایت کالایی مطلوب اعلام می‌شود که در اکثر دسته بندی‌ها مطلوب ارزیابی شده باشد.
1-3-روش اکثریت ساده
روش تشخیص نهایی مطلوب بودن کالا بر این اساس است که حداقل در نیمی از ارزیابی‌ها آن را مطلوب تشخیص دهیم که به‌این روش، اکثریت ساده می‌گوییم و آن را با نماد نشان می‌دهیم ودر فصل بعد عملکرد آن‌ها با روش گشتاوری پیشنهاد شده توسط بلیسچک (1962) مقایسه خواهد شد. به خصوص در حالتی که هر کالایی بار ارزیابی شود، برآوردهای ماکزیمم درستنمایی منطبق بر برآوردهای گشتاوری است. این حالت مینیمم تعداد تکرار ارزیابی‌هایی است که مدل قابل شناسایی می‌باشد.

1-4-خطاهای ارزیابی
خطای نوع اول زمانی اتفاق می افتد که کالای مطلوب، به اشتباه نامطلوب ارزیابی شده باشد و خطای نوع دوم زمانی رخ می دهد که کالای نامطلوب، به اشتباه مطلوب ارزیابی شود.
1-5-توزیع دو جمله ای بریده شده
اگر تکیه گاه توزیع دو جمله ای با پارامترهای را به نقاط محدود کنیم، یک توزیع دو جمله ای بریده شده به صورت زیر خواهیم داشت:
1-6- برآورد بیز
فرض کنید متغیر تصادفی Xدارای تابع چگالی باشد و به برآورد تابعی از پارامتر مانند علاقمند هستیم. بر اساس یک نمونه تصادفی برآوردگر را در نظر بگیرید.
در برآورد پارامتر () براساس برآوردگر (X)δ، میزان دقت با تابع مخاطره، یعنی
اندازه گرفته می‌شود. دلیل معرفی تابع مخاطره ‌این است که تابع زیان تابعی از نمونه تصادفی می‌باشد و از یک نمونه به نمونه دیگر تغییر می‌کند، بنابراین متوسط زیان که همان ریسک یا مخاطره می‌باشد به کار می‌رود. در مسائل برآوردیابی علاقه‌مند به دستیابی به برآوردگری مانند هستیم که تابع مخاطره را روی فضای پارامتر مینیمم کند. یک رابطه ترتیبی بین برآوردگرها می‌تواند براساس رخداد بدترین حالت ممکن در نظر گرفته شود.

                                                    .