سبز اندیشان امروز

یادآوری

اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های واز حلقهداشته باشیم، آنگاه . اگر ، آنگاه از اول بودن مدول نتیجه می‌شود. بنابراین از نتیجه می‌شود
.
لذا داریم و در نتیجه . اگر ، آنگاه. بنابراین قضیه اثبات می‌شود.
قضیه2-9: اگریک حلقه و یک – مدول دوم باشد، آنگاه یک ایده‌آل اولاست.
اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های و از حلقه داشته باشیم، آنگاه . اگر ، آنگاه از دوم بودن مدول نتیجه می‌شود .
بنابراین از، نتیجه می‌شود. در نتیجه. حال اگر، آنگاه . در نتیجه .
فرض کنید یک مدول دوم و . در این صورت را یک مدول- دوم گویند.
قضیه2-10: هر مدول ساده، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک- مدول ساده باشد. بنابراین تنها زیرمدول غیر صفر آن می‌باشد. بنابراین اول است. از طرفی تنها زیرمدول محض زیرمدول صفر می‌باشد، بنابراین به‌وضوح داریم . در نتیجه دوم است.
تعریف2-11: مدول را نیم‌ساده گویند هرگاه برابر حاصل‌جمع زیرمدول‌های ساده خود باشد. در این صورت خانواده از زیرمدول‌های ساده موجود است. به قسمی که .
تعریف2-12: فرض کنید یک حلقه باشد. در این صورت را یک حلقه نیم‌ساده گویند اگربه عنوان- مدول راست (به طور معادل چپ)، یک مدول نیم‌ساده باشد.
یادآوری می‌کنیم مدول را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی کهبرابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد.
قضیه2-13: هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک- مدول نیم‌ساده همگن باشد. بنابراین می‌توان فرض کرد، برای یک مجموعه اندیس‌گذار و زیرمدول‌های ساده یکریخت از. حال اگر، زیرمدول غیر صفری از باشد بنابر قضیه 2-5 داریم، برای یک مجموعه اندیس‌گذار . حال اگر و، از آنجایی که تمامی ها یکریخت هستند داریم
،
بنابراین اول است.
حال اگر، زیرمدولی محض از باشد. داریم، برای یک مجموعه اندیس گذار . با تکرار روند فوق می‌توانیم نتیجه بگیریم لذا دوم است.
حلقه را یک حلقه ساده گویند، هرگاه ایده‌آل دوطرفه غیر بدیهی نداشته باشد.
قضیه2-14: اگریک حلقه ساده باشد، آنگاه هر مدول غیر صفر روی، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید یک- مدول راست و زیرمدول غیر صفر از باشد. از آنجایی که یکدار است داریم، و همچنین. از طرفی ساده است و پوچ‌سازها ایده‌آل هستند، بنابراین. در نتیجه اول است.
حال اگر زیرمدول محض باشد، یک مدول غیر صفر می‌باشد. حال مشابه روند اثبات فوق می‌توان نتیجه گرفت . بنابراین دوم است.
قضیه2-15: فرض کنیدیک حلقه باشد. اگر به عنوان- مدول راست، مدولی دوم باشد آنگاه یک حلقه ساده است.
اثبات: فرض کنید، ایده‌آل محض باشد. به‌وضوح، از طرفی از آنجایی که حلقه یکدار است می‌توان نتیجه گرفت . حال از دوم بودن- مدولداریم ، بنابراین . در نتیجه. پس به عنوان- مدول، ساده است.
قضیه2-16: هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.
اثبات: فرض کنیدیک- مدول اول و زیرمدول غیر صفر ازباشد. حال اگر زیرمدول غیر صفر باشد، زیرمدول نیز است. بنابر اول بودن داریم . لذا اول است.
قضیه2-17: هر تصویر همریخت غیر صفر از یک مدول دوم، دوم است.