پایان نامه

پایان نامه

فصل سوم
چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم
3-1- مقدمه
فرگوسن در سال 1967 با مینیمم کردن رابطه
(3-1)
نسبت ، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوری به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (3-1) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.
3-2-1- روش ابدوس و تئودورس (1992)
از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 برای و تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند:
که در آن نرم اقلیدسی روی است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:
چندک ام، ، زمانیکه باشد از مینیمم کردن
، بدست می آید. بنابراین برای هر در نرم ، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط دسته بندی می شوند و برای ثابت ، با در نظر گرفتن متغیر در بازه و قرار دادن به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار ، ، تولید می شوند که در بخش 3-2-2 بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر = 1 و باشد، آنگاه:
(3-2)
باید (3-2) را روی مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:
از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:
بنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن در رابطه 3-2 چندک ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.
برای ، را بردار چندک های ام تک متغیره کناری می نامیم. برای = ، به میانه ی فضایی گفته می شود.

3-2-2- بررسی تابع چندکی توسط چندک های
در این بخش وجود تابع چندکی توسط چندک های برای ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های برای را در نظر بگیرید. برای ثابت، یک منحنی در است. بنابراین برای ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی توسط چندک های داشته باشیم.

Share