فرض کنید و دو حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی باشند. یک ریخت از به ، یک ریخت از گروهوارهای توپولوژیکی است که حافظ ساختار حلقه‌ی توپولوژیکی نیز می‌باشد به این معنی‌که
و
تعریف ۴-۱۶٫ ریخت پوششی حلقه-گروهوارهای توپولوژیکی
یک ریخت از حلقه-گروهوارهای توپولوژیکی، اگر یک ریخت پوششی روی گروهوارهای توپولوژیکی و باشد، یک ریخت پوششی توپولوژیکی نامیده می‌شود.
تعریف ۴-۱۷٫ ریخت پوششی جهانی حلقه-گروهوارهای توپولوژیکی
ریخت از حلقه-گروهوارهای توپولوژیکی، اگر یک ریخت پوششی جهانی روی گروهوارهای توپولوژیکیو باشد، یک ریخت پوششی جهانی نامیده می‌شود.
مثال ۴-۱۸٫ فرض کنید یک حلقه‌ی توپولوژیکی باشد. با تعریف زیر یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی می‌باشد.
درمثال ۴-۵، نشان دادیم که یک گروه-گروه‌وار روی می‌باشد. با توجه به این‌که یک حلقه است، ضرب حلقه‌ای را به‌صورت
تعریف می‌کنیم و نشان می‌دهیم یک ریخت گروه‌واری است.
و
چون یک حلقه‌ی توپولوژیکی است، پس توپولوژی حلقه-گروه‌وار را توپولوژی حاصل‌ضربی برگرفته از در نظر می‌گیریم.
همچنین به دلیل پیوستگی نگاشت‌های ساختار حلقه‌ای و نگاشت‌های گروه‌واری ،یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است.
تعریف ۴-۱۹٫ زیر حلقه-گروه‌وار
فرض کنید یک حلقه-گروه‌وار باشد و . اگر تشکیل یک حلقه-گروه‌وار بدهد، آن‌گاه را یک زیرحلقه-گروه‌وار می‌نامیم.
نکته ۴-۲۰٫ اگر برای هر ، ، آن‌گاه یک زیرحلقه-گروه‌وار کامل از است واگر ، آن‌گاه یک زیرحلقه-گروه‌وار عریض از می‌باشد.
گزاره ۴-۲۱٫ فرض کنیدیک حلقه-گروه‌وار باشد. آن‌گاه مجموعه‌ی همانی‌های یک زیرحلقه-گروه‌وار عریض می‌باشد.
برهان. در گزاره ۴-۷، ثابت کردیم یک زیرگروه-گروه‌وار عریض از می‌باشد. نشان می‌دهیم یک زیرحلقه-گروه‌وار عریض از است.
فرض کنید . چون نگاشت شیء یک همریختی حلقه‌ای است، داریم . همچنین چون یک حلقه است، پس برای هر ، داریم ، پس . بنابراین .
پس نسبت به ضرب بسته است.
با تحدید نگاشت به ، چون یک ریخت گروه‌واری است، پس نیز یک ریخت گروه‌واری است.
بنابراین یک زیرحلقه-گروه‌وار عریض از است.■
چون مجموعه‌ی اشیاء و مجموعه‌ی ریخت‌ها در یک حلقه-گروه‌وار، خودشان نیز حلقه می‌باشند، بنابراین می‌توانیم یک ایده‌آل از حلقه-گروه‌وار را تعریف کنیم.
تعریف ۴-۲۲٫ ایده‌آل یک حلقه-گروه‌وار
یک زیر گروه-گروه‌وار از یک حلقه-گروه‌وار ، یک ایده‌آل چپ از حلقه-گروه‌واراست، اگر
برای هر و ، یک ریخت از گروه‌وارها باشد.
به طور مشابه، یک یک ایده‌آل راست از حلقه-گروه‌وار می‌باشد، اگر
یک ریخت از گروه‌وارها باشد.
بنابراین اگر هم ایده‌آل راست و هم ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار باشد، را یک ایده‌آل از حلقه-گروه‌وار می‌نامیم،.
نتیجه ۴-۲۳٫ براساس تعریف ایده‌آل چپ، چون یک ریخت گروه‌واری است، پس مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ حلقه‌ی و مجموعه‌ی اشیاء نیز یک ایده‌آل چپ حلقه‌ی می‌باشد. همچنین توجه داشته باشید که هر ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار، یک زیرحلقه-گروه‌وار نیز می‌باشد.
برهان. داریم و ریخت‌های گروه‌واری هستند.
برای هر و داریم .
پس یک ایده‌آل چپ حلقه‌یمی‌باشد.
برای هر و داریم .
پس یک ایده‌آل چپ حلقه‌ی می‌باشد.
می دانیم هر ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار ، یک زیرگروه-گروه‌وار از است. همچنین طبق تعریف نگاشت ، هر ایده‌آل نسبت به عمل ضرب حلقه بسته می‌باشد. از طرفی نگاشت ساختار حلقه‌ای ایده‌آل، که همان است، یک ریخت گروه‌واری می‌باشد، پس هر ایده‌آل یک زیرحلقه-گروه‌وار نیز می‌باشد.■
گزاره ۴-۲۴٫ فرض کنید یک زیرگروه-گروه‌وار از حلقه-گروه‌وار باشد. اگر مجموعه‌ی ریخت‌های، یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی مجموعه ریخت‌های باشد، آن‌گاه نیز یک ایده‌آل چپ است.
برهان. فرض کنید و . بنابراین و . چون مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی می‌باشد، پس . چونیک زیرگروه‌واراست، پس . درنتیجهیک ایده‌آل چپ است.
همچنین فرض کنیدیک حلقه-گروه‌وار و یک ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار باشد. همچنین فرض کنید . برای ، جایی‌که و تعریف‌شده باشند، طبق گزاره ۴-۱۳، داریم:
چون مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ می‌باشند، پس . بنابراین چون یک زیرگروه‌وار است، داریم.■
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت fotka.ir مراجعه نمایید. |