دسترسی متن کامل – پایاننامه کارشناسی ارشد در رشته ریاضی محض(گرایش هندسه)حلقه گروهوارهای توپولوژیکی و بالابرها در فضاهای پوششی- قسمت …

اگر و فقط اگر وجود داشته باشد به طوری‌که .
نتیجه ۳-۲۷٫ اگر به طور متعدی رویعمل کند، آن‌گاه دارای تنها یک مدار می‌باشد.
برهان. طبق تعریف عمل متعدی گروه‌وار واضح است زیرا به ازای تمام ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس .
به همین ترتیب برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم .
همچنین برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم و .
بنابراین تمام اعضای با هم دررابطه هستند. پس فقط یک کلاس هم‌ارزی داریم و این یعنی دارای تنها یک مدار است.■
گزاره ۳-۲۸.گوییم روی به طور متعدی عمل می‌کند اگر وفقط اگر گروه‌وار متعدی باشد.
برهان. فرض کنید روی به طور متعدی عمل می‌کند. برای دلخواه عضو ثابت می‌کنیم .
فرض کنید، و . چون متعدی است پس وجود دارد به طوری‌کهو پس بامعنا می‌باشد و وجود دارد به طوری‌که و. بنابراین برای هر داریم .
برعکس فرض کنید متعدی باشد. پس واضح است که برای هر ، یک وجود دارد به طوری‌که و . از طرفی چون ، پس و . بنابراین برای هر ، وجود دارد به طوری‌که .■
توجه ۳-۲۹٫ مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل چپ به صورت نوشته می‌شود و با تعریف نگاشت
می‌بینیم توپولوژی تعریفی برای توپولوژی خارج‌قسمتی است که توسط نگاشت خارج‌قسمتی القا شده است.
مثال ۳-۳۰٫ فرض کنید یک نگاشت شناخته شده‌ای باشد. گروه‌وار توپولوژیکی با مجموعه اشیاء را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
چونزیرمجموعه‌ای از می‌باشد پس با القای توپولوژی حاصل‌ضربیبه ، به یک فضای توپولوژیکی تبدیل می‌شود. همچنین با تعریف نگاشت‌های پیوسته‌ی زیر، یک گروه‌وار توپولوژیکی می‌باشد.
و
نگاشت ترکیب
جایی‌که .
در نگاشت ترکیب داریم ، و ، بنابراین ، پس .
در نتیجه ریخت موجود می‌باشد. چون ، بنابراین در هر ترکیب فقط یک ریخت منحصربه‌فرد مانند موجود است. به همین دلیل در یک ترکیب یکتا موجود است.
طبق مثال ۳-۲۶، داریم یک –فضای چپ توسط همانی می‌باشد. همچنین فضای مدارهای یعنی توسط تعریف می‌شوند زیرا عمل –فضای ، برای هر به‌صورت تعریف می‌شود و چون توسط تعریف می‌شود و برد درون قرار می‌گیرد، پس تعریف به ساختار مربوط می‌شود.
ازطرفی روی به طور متعدی عمل می‌کند پس دارای تنها یک مدار می‌باشد.
تعریف ۳-۳۱٫ –فضای راست
گوییم یک -فضای راست است جایی‌کهیک فضای توپولوژیکی، یک نگاشت پیوسته و
یک عمل پیوسته‌ی گروه‌وار روی (از راست)، توسط نمودار برگردان زیر باشد:
نمودار۸٫
همچنین باید در اصول زیر صدق کند:
۱- .
۲- .
۳-
جایی‌که روابط بالا تعریف شده باشند.
تعریف ۳-۳۲٫ مدارها در –فضای راست
مدارهای فضای نیز براساس عمل داده شده، خوش‌تعریف می‌باشند، یعنی مدارهای فضای ، کلاس‌های هم‌ارزی تحت رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشند، جایی‌که اگر و فقط اگر موجود باشد به طوری‌که .
مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل (از راست) را با نشان می‌دهیم.
نکته ۳-۳۳٫ با قرار دادن شرط ، روی عمل ، به راحتی می‌توان یک –فضای چپ را به یک –فضای راست به‌صورت زیر تبدیل کرد.
فرض کنید یک-فضای چپ باشد، بنابراین با توجه به‌ این‌که و تعریف‌شده می‌باشد، داریم:
وچون یک گروه‌وار است داریم و .
درنتیجه
و
بنابراین نیز تعریف‌شده می‌باشد.
می‌دانیم یک عمل چپ پیوسته است پس نیز پیوسته می‌باشد. حال با بررسی اصول زیر می‌بینیم