دسترسی متن کامل – پایاننامه کارشناسی ارشد در رشته ریاضی محض(گرایش هندسه)حلقه گروهوارهای توپولوژیکی و بالابرها در فضاهای پوششی- قسمت …

اگر و فقط اگر وجود داشته باشد به طوری‌که .
نتیجه ۳-۲۷٫ اگر به طور متعدی رویعمل کند، آن‌گاه دارای تنها یک مدار می‌باشد.
برهان. طبق تعریف عمل متعدی گروه‌وار واضح است زیرا به ازای تمام ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس .
به همین ترتیب برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم .
همچنین برای هر ، و ، وجود دارد به طوری‌که . پس . بنابراین داریم و .
بنابراین تمام اعضای با هم دررابطه هستند. پس فقط یک کلاس هم‌ارزی داریم و این یعنی دارای تنها یک مدار است.■
گزاره ۳-۲۸.گوییم روی به طور متعدی عمل می‌کند اگر وفقط اگر گروه‌وار متعدی باشد.
برهانفرض کنید روی به طور متعدی عمل می‌کند. برای دلخواه عضو ثابت می‌کنیم .
فرض کنید، و . چون متعدی است پس وجود دارد به طوری‌کهو پس بامعنا می‌باشد و وجود دارد به طوری‌که و. بنابراین برای هر داریم .
برعکس فرض کنید متعدی باشد. پس واضح است که برای هر ، یک وجود دارد به طوری‌که و . از طرفی چون ، پس و . بنابراین برای هر ، وجود دارد به طوری‌که .■
توجه ۳-۲۹٫ مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل چپ به صورت نوشته می‌شود و با تعریف نگاشت
می‌بینیم توپولوژی تعریفی برای توپولوژی خارج‌قسمتی است که توسط نگاشت خارج‌قسمتی القا شده است.
مثال ۳-۳۰٫ فرض کنید یک نگاشت شناخته شده‌ای باشد. گروه‌وار توپولوژیکی با مجموعه اشیاء را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
چونزیرمجموعه‌ای از می‌باشد پس با القای توپولوژی حاصل‌ضربیبه ، به یک فضای توپولوژیکی تبدیل می‌شود. همچنین با تعریف نگاشت‌های پیوسته‌ی زیر، یک گروه‌وار توپولوژیکی می‌باشد.
و
نگاشت ترکیب
جایی‌که .
در نگاشت ترکیب داریم ، و ، بنابراین ، پس .
در نتیجه ریخت موجود می‌باشد. چون ، بنابراین در هر ترکیب فقط یک ریخت منحصربه‌فرد مانند موجود است. به همین دلیل در یک ترکیب یکتا موجود است.
طبق مثال ۳-۲۶، داریم یک –فضای چپ توسط همانی می‌باشد. همچنین فضای مدارهای یعنی توسط تعریف می‌شوند زیرا عمل –فضای ، برای هر به‌صورت تعریف می‌شود و چون توسط تعریف می‌شود و برد درون قرار می‌گیرد، پس تعریف به ساختار مربوط می‌شود.
ازطرفی روی به طور متعدی عمل می‌کند پس دارای تنها یک مدار می‌باشد.
تعریف ۳-۳۱٫ –فضای راست
گوییم یک -فضای راست است جایی‌کهیک فضای توپولوژیکی، یک نگاشت پیوسته و
یک عمل پیوسته‌ی گروه‌وار روی (از راست)، توسط نمودار برگردان زیر باشد:
نمودار۸٫
همچنین باید در اصول زیر صدق کند:
۱- .
۲- .
۳-
جایی‌که روابط بالا تعریف شده باشند.
تعریف ۳-۳۲٫ مدارها در –فضای راست
مدارهای فضای نیز براساس عمل داده شده، خوش‌تعریف می‌باشند، یعنی مدارهای فضای ، کلاس‌های هم‌ارزی تحت رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشند، جایی‌که اگر و فقط اگر موجود باشد به طوری‌که .
مجموعه‌ی مدارهای تحت عمل (از راست) را با نشان می‌دهیم.
نکته ۳-۳۳٫ با قرار دادن شرط ، روی عمل ، به راحتی می‌توان یک –فضای چپ را به یک –فضای راست به‌صورت زیر تبدیل کرد.
فرض کنید یک-فضای چپ باشد، بنابراین با توجه به‌ این‌که و تعریف‌شده می‌باشد، داریم:
وچون یک گروه‌وار است داریم و .
درنتیجه
و
بنابراین نیز تعریف‌شده می‌باشد.
می‌دانیم یک عمل چپ پیوسته است پس نیز پیوسته می‌باشد. حال با بررسی اصول زیر می‌بینیم

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  jemo.ir  مراجعه نمایید.