1-4-3) ریاضیات مجموعه های فازی
وقتی در سال 1965 پروفسور لطفی عسگرزاده، استاد ایرانی الاصل دانشگاه کالیفرنیا برکلی اوین مقاله خود را در زمینه فازی تحت عنوان «مجموعه ی فازی» منتشر کرد، هیچ کس نمی توانست باور کند که این مقاله جرقه ی اولیه از پرتو یک جهان بینی جدید در عرصه ریاضیات و علوم و اولین گام در معرفی بینشی نو و واقع گرایانه از جهان، در چارچوب مفاهیمی کاملاً بدیع، اما بسیار سازگار با طبیعت انسان باشد. اگر چه تا چند دهه پیش موضوع منطق فازی و بنیانگذار آن با مخالفت آشکار و سخت جمع کثیری از دانشمندان، ریاضیدانان و مهندسین روبرو بود، اما با پیدایش کاربردهای عملی آن در طی چند دهه اخیر، پذیرش این منطق را بعنوان رویکردی جدید، هموارتر می ساخت.
مجموعه های فازی تعمیم یافته مجموعه های قطعی است. در نظریه مجموعه های قطعی؛ اشیاء متعلق به یک مجموعه اعضاء قطعی آن محسوب می شدند. بعنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی کوچکتر از 5 را در نظر بگیرید؛ این مجموعه شامل اعدا 1 تا 4 می باشد. حال به مثال دوم در این زمینه توجه نمایید: مجموعه اعداد حقیقی نزدیک به 100 . مجموعه او بر خلاف مجموعه دوم تعریف صریحی دارد. بعبارتی اعدا یا عضو این مجموعه هستند یا نیستند. ارزش گذاری استنتاجات نیز مبتنی بر همین نوع عضویت به صورت {1 و 0} می باشد. ویژگی «نزدیکی اعداد حقیقی» در مثال دوم را در نظر بگیرید. این ویژگی بر خلاف ویژگی «کوچک تر از 1 بودن» در مثال اول؛ ویژگی روشن و مشخصی نیست. به چنین تعاریفی اصطلاحاً تعاریف «غیر خوش تعریف» اطلاق می شود. بسیاری از پدیده های اطراف ما از این نوع تعریف پیروی می کنند. مجموعه اعداد معرِف وجود تب در بدن انسان را در نظر بگیرید. آیا تعریف اعداد بزرگتر از 36 بعنوان مجموعه دمای معرف تب، تعریف دقیق و جامعی است. مسلماً خیر. طبق این تعریف ممکن است بیماری با درجه دمای 9/36 درجه به پزشک مراجعه کند و از برخی استنتاجات پزشکی و درمانی محروم شود! در چنین موقعیت هایی است که نیازمند تعریف نوع جدیدی از عضویت یک شیء / فرد به یک مجموعه هستیم. این نوع عضویت برخلاف عضویت مجموعه های قطعی که دارای ارزش گذاری {1 و 0} بود، طیف پیوسته ای از ارزش گذاری را مورد کاربرد قرار می دهد. این طیف بیانگر میزان تعلق هر یک از اعضاء به مجموعه مورد نظر می باشد. این میزان تعلق درقالب مفهوم «تابع عضویت » توصیف می گردد. این تابع میزان تعلق هر عضو را نمایش می دهد. مثال مجموعه ی افراد قد بلند را در نظر بگیرید. فرض کنید تعریف ما از افراد قد بلند افراد بالای 180 سانتی متر باشد. به شکل 3-3 توجه نمایید.

الف
ب
شکل الف-3-3) تعریف مجموعه افراد قد بلند بصورت مجموعه قطعی
شکل ب-3-3) تعریف مجموعه افراد قد بلند بصورت مجموعه فازی
در مجموعه قطعی الف، فردی با اندازه قد 9/179 سانتی متر بعنوان فردی قد بلند محسوب نمی شود. در حالی که در مجموعه فازی ( مجموعه ب)، چنین فردی ممکن است با درجه عضویت 9/0 متعلق به جامعه افراد بلند قد و با درجه عضویت 1/0 متعلق به مجموعه افراد دارای قد متوسط است. بنابراین با توجه به توضیحاتی که ارائه شد، در نظریه مجموعه های فازی، عضویت هر عضو در بازه ]1و0[ درجه بندی می شود و هر عضو به همراه درجه عضویت خود در قالب یک زوج مرتب (x , µ(x) ) بیان می گردد؛ و از این رو یک مجموعه فازی متشکل از یکسری زوج مرتب است.
اعداد فازی یک تعمیم طبیعی برای اعداد معمولی می باشند. یک عدد معمولی مانند a را می توان با تابع عضویت زیر نشان داد:
شکل الف-4-3 عدد معمولی a و شکل ب-4-3 عدد فازی را نمایش می دهد.

الف
ب
شکل الف-4-3) – نمایش عدد معمولی a
شکل ب-4-3) – نمایش عدد فازی b
اعداد فازی دارای فرم های مختلفی هستند. متعارف ترین فرم این اعداد فرم مثلثی است. اعداد فازی مثلثی سه مولفه ای بوده و شبیه آن چه که در شکل ب-4-3 نمایش داده شده، می باشند. با توجه به محاسبات تحقیق حاضر، مبنای توضیحاتی که در این بخش ارائه می شود مبتنی بر این نوع از اعداد فازی می باشد. اعداد فازی مثلثی به شکل زیر نمایش داده می شوند:

اعداد l , m , u همگی اعدادی قطعی هستند. مؤلفه های عدد فازی از شرط a1

                                                    .