معادله

معادله

Y
بررسی جریان های لغزشی امروزه بسیار مورد توجه قرار گرفته است [8-18]. همچنین مطالعات متعددی در مورد تولید انتروپی در میکرو کانال ها انجام شده است[19-23]. در این پروژه تلاش می شود تا جریان یک سیال گازی تراکم پذیر نیوتونی در یک میکروکانال مستطیل در حالت پایدار بررسی شود و سپس به بررسی تولید انتروپی در این کانال خواهیم پرداخت. در ابتدا معادلات حاکم بر جریان و معادلات حاکم بر انتقال حرارت ر بررسی می کنیم. از آنجایی که در نهایت می خواهیم از این معادلات در حل عددی استفاده کنیم لذا از صورتی از معادلات استفاده می کنیم که مناسب برای حل های عددی باشند و به راحتی گسسته سازی بر روی آنها انجام شود.
معادلات حاکم:
معادلات حاکم شامل معادلات حاکم بر جریان و معادلات حاکم بر انتقال حرارت و همچنین معادلات حاکم بر حالت سیال می باشند. معادلات حاکم بر جریان شامل معادلات پیوستگی و معادلات مومنتم می شوند که به قرار زیرند:
معادله پیوستگی:
معادله مومنتم:
معادلات حاکم بر انتقال حرارت شامل معادلات انرژی و معادله حالت میشوند. این معادلات نیز در فرم مناسب مورد استفاده به قرار زیرند:
و معادلات جانبی نیز برای بسته شدن دستگاه معادلات مورد نیاز هستند که به شرح زیرند:
با کمی دقت در معادلات مومنتم و انرژی در می یابیم که تمام این معادلات از دو بخش اساسی کانوکشن، عبارت سمت چپ تساوی و دیفیوژن، عبارت اول سمت راست تساوی تشکیل شده اند. به همین سبب می توان صورت کلی از معادلات شامل عبارت های کانوکشن و دیفیوژن را به صورت زیر نوشت:
که ضریب به سادگی بر اساس نوع معادله قابل تعیین است، لذا برای حل عددی ابتدا می بایست معادله بالا را که یک معادله کلی است برای سه معادله مومنتم و معادله انرژی است گسسته کنیم. به دلیل حجم بالای مطالب در این پروژه تنها گسسته شده معادلات آورده می شود و برای نحوه گسسته سازی و روش های آن خواننده به مراجع[30و31] ارجاع داده می شود.
3-2 گسسته سازی معادلات مومنتم
بر اساس روش ارائه شده در مرجع [30] معادله گسسته شده به صورت زیر ارائه می شود و نکته قابل توجه در این گسسته سازی استفاده از فلاکس عبوری جریان است.
مقادیر اگر با زیر نویس بزرگ باشد در آن نقاط مقادیر دقیق موجود می باشد ولی با زیر نویس حروف کوچک نیاز به تقریب داریم. از آنجایی که این تقریب تاثیر بسیار زیادی در همگرایی حل عددی دارد می بایست به دقت مورد توجه قرار گیرد. برای تقریب این نقاط در این پروژه از روش TVD استفاده کردیم. با این روش تقریب معادله گسسته شده به فرم زیر تبدیل می شود.
در اعمال تقریب TVD ردیف اول مربوط به فلاکس مثبت و ردیف دوم مربوط به فلاکس منفی می باشد. بعد از مرتب سازی متغییرها و ضرایب به معادله زیر خواهیم رسید:
در این معادله ضرایب به صورت زیر تعریف شده است:
و همچنین
و با توجه به تقریب استفاده شده برای نقاطی که در آنها مقدار قطعی وجود ندارد عبارت نیز به این شکل تعریف می شود:
قابل ذکر است که در عبارت بالا تابع ون آلبادا در این تقریب است و به صورت زیر تعریف می شود:
و همچنین داریم:

Share