سبز اندیشان امروز

مشاهده

بنابراین
.
حال بنابر لم4-1، دوم است.
در قضیه زیر مشاهده می‌کنیم که در شرایط خاص، زیرمدول یک مدول دوم، دوم است.
نتیجه4-3: فرض کنید یک حلقه و برای یک ایده‌آل اول از، یک- مدول- دوم باشد. آنگاه هر زیرمدول خالص غیر صفر از یک مدول- دوم است.
اثبات: فرض کنید یک زیرمدول خالص غیرصفر از باشد. از آنجایی که ، داریم. حال اگر ایده‌آل حلقه باشد که. آنگاه بنابراین . حال بنابر لم 4-1، مدول- دوم است.
نتیجه4-4: فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه و یک- مدول باشد به طوری که . آنگاه- مدول یک مدول دوم است اگر و تنها اگر- مدول یک مدول دوم باشد.
اثبات: فرض کنید- مدول دوم است. آنگاه. از آنجایی که، میتوان را به عنوان یک – مدول در نظر گرفت. فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه باشد به طوری که . آنگاه . بنابر دوم بودن- مدول و لم4-1، یا. در نتیجه یا. حال بنابر لم 4-1، یک – مدول دوم است.
بالعکس، فرض کنید یک- مدول دوم باشد. آنگاه ، و همچنین. فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه باشد. آنگاه . از آنجایی که یک- مدول دوم است، بنابراین یا . درنتیجه یا. حال بنابر لم4-1، یک- مدول دوم است.
نتیجه بعدی برای حلقه‌های جابجایی در]26، قضیه 2.2[ ثابت شده است.
نتیجه4-5: فرض کنید یک ایده‌آل اول از حلقه باشد. آنگاه:
حاصل‌جمع مستقیم هر گردایه از- مدول‌های راست- دوم، یک مدول- دوم است،
جمع هر گردایه ناتهی از زیرمدول‌های- دوم از یک- مدول راست، یک زیرمدول- دوم از است.
اثبات: فرض کنید یک گردایه ناتهی از- مدول‌های راست- دوم باشد، و. آنگاه داریم. حال فرض کنید ایده‌آلی از حلقه باشد، به طوری که آنگاه بنا بر لم4-1، به ازای هر. بنابراین . در نتیجه یک مدول- دوم است.
اثبات: فرض کنید یک گردایه ناتهی از زیرمدول‌های- دوم از باشد. همریختی را با ضابطه تعریف می‌کنیم. به سادگی دیده می‌شود پوشاست پس نقش همریخت مدولاست. حال طبق قسمت و این موضوع که نقش همریخت هر مدول دوم، خود مدول دوم است این نتیجه به اثبات می‌رسد.
حال به بررسی مدول‌های دوم روی حلقه‌های کراندار و گولدی می‌پردازیم.
نتیجه4-6: فرض کنید یک حلقه اول گولدی راست (یا چپ) باشد. آنگاه هر- مدول راست بخش‌پذیر غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: فرض کنید یک- مدول راست بخش‌پذیر باشد و. اگر، چون حلقه اول است، بنابر لم 2-66 ایده‌آل زیرمدولی اساسی از است. حال بنابر قضیه 2-41 (قضیه گولدی)، شامل یک عنصر منظم از حلقه مانند می‌باشد. از بخش‌پذیر بودن می‌توان نتیجه گرفت ، که این یک تناقض است. بنابراین. حال فرض کنید ایده‌آلی غیر صفر از باشد، بنابراین. از طرفی مانند فوق می‌توان گفت که شامل عنصر منظمی از حلقه مانند می‌باشد. بنابراین . در نتیجه. حال بنابر لم4-1، یک مدول دوم است.

نتیجه4-7: فرض کنید یک حلقه اول گولدی راست یا چپ باشد. آنگاه هر- مدول راست انژکتیو غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: هر مدول انژکتیو، بخش‌پذیر است. حال بنابر نتیجه4-6، این نتیجه اثبات می‌شود.
نتیجه4-8: فرض کنید یک ایده‌آل اول از یک حلقه باشد به طوری که یک حلقه گولدی راست یا چپ باشد، و فرض کنید یک- مدول راست انژکتیو غیر صفر باشد. آنگاه شامل یک زیرمدول- دوم است اگر و تنها اگر برای بعضیهای غیر صفر در.
اثبات:قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید برای بعضی های غیر صفر از مدول. فرض کنید. آنگاه به‌وضوح یک زیرمدول است و. آنگاه یک – مدول انژکتیو است. زیرا فرض کنید نمودار زیر از – مدول‌ها و همریختی‌های مدولی را داشته باشیم
از آنجایی که هر – مدول، یک- مدول نیز هست. بنابراین می‌توانیم نمودار زیر را تشکیل دهیم
حال از آنجایی که یک- مدول انژکتیو است، می‌توان همریختی یافت به طوری‌که نمودار فوق جابجایی شود. از طرفی یک – مدول است در نتیجه داریم
پس بنابراین در نتیجه .