مجموعه

مجموعه

یعنی دیفراسیلی که اینجا تعریف کردیم یک هم برداراست که بیانگر بخش متناهی دیفراسیل متعارف بدون جمله‌ی بین‌هایت کوچک ds است . اکنون اگر باشد می‌توان نوشت:
(1-45)
چون ei پایه TP است نتیجه بالا به دست می‌آید. به همین دلیل هم بردارها را تک فرم دیفرانسیلی نیز می‌نامند و dxi-ها را می‌توان یک پایه در فضای هم- مماس تلقی کرد. این پایه، { dxi}، همزاد (دوگان)پایه‌ی { } در فضای مماس است. هم- بردارها را بردار هموردا و همین طور بردارها را بردار پادوردا می‌نامند[49].
1-8 خم وخم ژئودزیک
نگاشت از بازه ی به خمینه ی Mرا یک خم می‌نامیم. پس به ازای هر پارامتر tیک نقطه روی خمینه تعریف می‌شود. مجموعه بردارهای مماس در نقطه‌های روی خم را می‌توان میدانی برداری در امتداد خم نامید. هر گاه هم که میدانی برداری وابسته به یک پارامتر روی خمینه تعریف شود می‌توان خمی به آن وابسته دانست که میدان برداری در هر نقطه همان بردار مماس برخم به معنی متعارف آن باشد. در این صورت از خم انتگرالی میدان برداری صحبت می‌کنیم. به این ترتیب هم می‌توان دید که مشتق هموردا در امتداد بردار X متناظر با انتقال موازی در امتداد خم انتگرالی بردار X است.
اکنون خم را در نظر می‌گیریم. با استفاده از مشتق هموردا مشتق جدیدی وابسته به خم،یا مشتق هموردا در امتداد میدان برداری،تعریف می‌کنیم که آن را با نشان می‌دهیم. مشتق هموردای تانسور دلخواه Tدر امتداد برابر است با که در آن بردار پادوردای وابسته به پارامتر t است. حالا مشتق هموردا در امتداد بردار را این گونه می‌نویسیم:
(1-46)
که در آن X بردار مماس است.با انتخاب مختصات،خم با مختصات بیان می‌شود:
(1-47)
به این ترتیب برای یک میدان برداری Y مشتق هموردا می‌شود:
(1-48)
توجه داریم که .
با این تفسیر از انتقال موازی می‌گوییم Y در امتداد به طور موازی منتقل می‌شود هر گاه:
(1-49)
به منظور درک بهتر این مفهوم انتقال دو نقطه p و q را روی خم در نظر می گیریم انتقال موازی با تعبیر بالا برای برادرها را حالا می توان به هر تانسور در فضای مماس تعمیم داد. این اتقال موازی نگاشتی است خطی که را به می برد. این نگاشت یک ایزومورفیسم است. مثلا یک پایه در qبه یک پایه در pمنتقل می شود. خمی راژئودزیک می نامیم که بردارمماس براین خم ، یعنی بردار ، در امتداد به موازات با خودش منتقل شود،یعنی همواره بر خم مماس بماند. بردار منتقل شده، یعنی:
به شرطی با خودش موازی است که
(1-50)
باشد پارامتر t را می توان طوری اختیار کرد که ضریب f صفر شود. در این صورت پارامتر خم را آفین می نامیم و حالا با s نشان می دهیم:
(1-51)
پس هر گاه بردار مماس را روی خم را به صورت بنویسیم، شرط
انتقال موازی بردار مماس،یا شرط ژئودزیک بودن خم، می شود:
(1-52)

Share