قابلیت اعتماد

قابلیت اعتماد

قابلیت اعتماد یا R(t) احتمال عدم شکست یک فعالیت در بازه زمانی صفر تا t است با فرض اینکه در زمان صفر فعالیت در حال انجام بوده است و مکمل آن احتمال شکست در همان بازه زمانی است که آن را با ) F(t نشان می دهیم . واضح است که
R(t)+F(t)=1
R(t)=P(T≥t)
F(t)=P(T≤t)
T : مدت زمان لازم برای شکست ( خراب شدن ) به شرط آنکه در زمان صفر فعالیت باشد .
1-5- توزیع لجستیک تعمیم یافته
متغیر تصادفی دارای توزیع لجستیک(Logistic distribution) است اگر تابع توزیع تجمعی آن برای پارامتر مکان و پارامتر مقیاس (بزرگتر از صفر) به صورت زیر باشد :

تابع چگالی احتمال مربوط به آن نیز به صورت زیر است :

واضح است که تابع چگالی احتمال حول پارامتر مکان متقارن است . به طور کلی ، باتوجه به پارامتر مکان و پارامتر مقیاس ، می توان توزیع لجستیک را به دو صورت تعمیم داد .که اولین تعمیم با توجه به ایده Azzalini بدست می آید که آن را توزیع لجستیک چوله(skew logistic; SL) می نامند . نوع دوم تعمیم توزیع دو پارامتری لجستیک نیز با عنوان خانواده توابع توزیع شکست معکوس نسبی (1) به کار می رود .
ابتدا به طور خلاصه به بررسی چند ویژگی توزیع لجستیک می پردازیم . در بیشتر کاربردهای این توزیع ، و در نظر گرفته می شود که در حقیقت همان توزیع لجستیک استاندارد است . این توزیع حول صفر متقارن و دارای نقاط عطف در است . شکل توزیع لجستیک شبیه توزیع نرمال است اما این توزیع در مرکز قله دارتر ( نوک تیزتر) و دارای دم های سنگین تری می باشد . این ویژگی توزیع لجستیک ، یعنی دم های سنگین ، در تولید توزیع های چوله به ما کمک می کند که معمولا برای آنالیز داده ها نیاز است .
حال به بررسی توزیع لجستیک تعمیم یافته می پردازیم . همانطور که گفتیم این توزیع با ایده Azzalini بدست می آید . او در ابتدا توزیع نرمال چوله را پیشنهاد داد که دارای تابع چگالی زیر می باشد :

که در آن پارامتر چولگی ، تابع چگالی و تابع توزیع متغیر تصادفی نرمال استاندارد می باشد . اگر چه Azzalini تابع توزیع نرمال استاندارد را با این فرم بسط داد اما می توان این روش را برای هر تابع چگالی متقارن به کار برد .
به طور کلی اگر یک تابع چگالی متقارن روی و نیز تابع توزیع آن باشد آن گاه تابع چگالی زیر برای هر چوله است .

proportional reverse hazard distributions ; PRHL ) ( family of (1)
با استفاده از این ایده می توان تابع لجستیک چوله (SL) ، با پارامتر چولگی ، را به دست آورد . که تابع چگالی آن به صورت زیر می باشد .

واضح است که اگر باشد همان توزیع لجستیک استاندارد را داریم .
با در نظر گرفتن پارامتر مکان و پارامتر مقیاس ( بزرگتر از صفر ) داریم :

Share