روش های تحلیلی

روش های تحلیلی

1-1- مقدمه
به علت اثر گذاری سازه بر خاک و خاک بر سازه تحلیل دینامیکی سازه‌های سنگین مستقر بر سطح زمین (شکل 1-1) نیاز به در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه دارد، چه در غیر این صورت نتایج تحلیل سازه با دقت کم همراه خواهد بود. در این موارد همواره برای داشتن طرح مطمئن نیاز به ‌ساده‌سازی‌های محافظه کارانه و در نتیجه غیراقتصادی می‌باشد. یکی از راه‌های در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه، تحلیل مجموعه سازه و خاک با استفاده از روش اجزا محدود و در نتیجه با المان‌بندی زمین زیر ساختمان (شکل 1-2) می‌باشد. تحلیل سازه به‌همراه زمین مطابق این روش اولاً بسیار پرهزینه بوده و ثانیاً به‌علت عدم توانایی المان‌بندی زمین تا بی‌نهایت از دقت مناسب برخوردار نیست. به‌علاوه از آنجایی که سختی المان‌های خاک با ابعاد مختلف متفاوت می‌باشد، آنالیز انتشار امواج به ‌این روش، امواج انعکاسی و انکساری غیر واقعی در اختیار قرار می‌دهد که به‌نوبه ‌خود دقت محاسبات را کاهش می‌دهد. به‌همین علت با ارزش خواهد بود که توابع امپدانس شالوده‌ها به‌روش تحلیلی به‌دست آیند و جایگزین خاک زیر شالوده گردند (شکل 1-3). تعیین این توابع امپدانس نیاز به ‌تحلیل محیط نیم بی‌نهایت تحت بارگذاری دلخواه در محل استقرار شالوده دارد. از طرفی رفتار خاک زیر شالوده به‌علت پیش‌تحکیمی در طول زمان ایزوتروپ نبوده، بلکه بیشتر شبیه رفتار ایزوتروپ جانبی می‌باشد. در نتیجه به‌منظور واقعی‌تر کردن تحلیل فوق‌الذکر، در این پایان‌نامه محیط ایزوتروپ جانبی به‌عنوان محیط مبنا در نظر گرفته شده و تحت اثر ارتعاش توام افقی و گهواره ای یک شالوده سطحی صلب مربع مستطیل در فضای فرکانسی مورد تحلیل قرار می‌گیرد.
انتشار امواج در یک محیط ناشی از بارگذاری خارجی از جمله مباحثی بوده است که در قرن گذشته بسیاری از محققان و مهندسان در زمینه ریاضیات کاربردی و مکانیک مهندسی را به ‌‌خود جلب کرده است. انتشار امواج در یک محیط ارتجاعی به ‌معنی انتقال تغییر شکل از یک نقطه به ‌نقطه دیگر می‌باشد. بر اساس اصول مکانیک محیط‌های پیوسته، تغییرشکل‌ها مولد تنش‌ها می‌باشند. بنابراین به‌همراه انتقال تغییر شکل‌ها، تنش‌ها نیز از یک نقطه به ‌نقطه دیگر منتقل می‌شوند. به‌همین علت گاهی انتشار امواج در محیط ارتجاعی به‌نام انتشار امواج تنشی نیز نامیده می‌شود. مقاله پایه‌ای در زمینه انتشار امواج مربوط به ‌لمب (Lamb) در سال 1904 می‌باشد [1]. او در این مقاله، انتشار امواج ناشی از یک بار هارمونیک وارد بر یک محیط ایزوتروپ و ارتجاعی نیمه بینهایت را در دو حالت دو بعدی و سه بعدی بررسی کرده و میدان تغییرمکان آنها را به‌دست آورده است. در این مقاله نیروی متمرکز بر حسب زمان به‌صورت تک هارمونیکی در نظر گرفته شده است به‌طوری که فرکانس تغییرات نیرو بر حسب زمان می‌باشد. به‌علت تغییرات هارمونیکی محرک (نیروی )، پاسخ سیستم شامل میدان‌های تغییرمکان، کرنش و تنش نیز به‌صورت هارمونیکی بر حسب زمان تغییر می‌کنند1، به‌همین علت جمله از معادلات حرکت در غیاب نیروهای حجمی حذف شده و معادلات حرکت به‌صورت مستقل از زمان و وابسته به‌ نوشته می‌شوند. در این حالت مسأله انتشار امواج در فضای فرکانسی حل می‌شود. به‌علت حذف متغیر زمان، معادلات حرکت به ‌دستگاه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نسبت به ‌مکان تبدیل شده و در صورتی‌که محیط ایزوتروپ باشد تجزیه هلمهولتز همواره این دستگاه معادلات را به‌ معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی و مستقل از یکدیگر تبدیل می‌کند. معادلات حاکم بر توابع هلمهولتز، معادلات موج بوده که وابسته به دستگاه مختصات میتواند با استفاده از روش فوریه2 (جداسازی متغیرها) و تبدیل هنکل3 و یا روش های دیگر حل شوند. لمب با استفاده از تبدیل انتگرالی هنکل معادلات حرکت را در حالت سه بعدی حل کرده است [1].

شکل 1-1 شکل شماتیک ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها

شکل 1-2 شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان، شالوده و زمین زیر آنها

شکل 1-3 شکل شماتیک مدل اجزاء محدود ساختمان و شالوده و توابع امپدانس معادل خاک
یکی از دلایل استفاده از تبدیلات در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاهش متغیرهای مستقل معادله وتبدیل آن به ‌معادله دیفرانسیل معمولی می‌باشد [17]. در حل مسائل مربوط به ‌محیط‌های نا‌متناهی، معمولاً شرایط مرزی به‌صورت توابع قطعه‌ای پیوسته وجود دارند و تبدیلات انتگرالی این شرایط را به‌صورت توابع پیوسته در فضای تبدیل یافته در می‌آورند. این موضوع یکی دیگر از دلایل استفاده از تبدیلات انتگرالی می‌باشد، چه در غیر این صورت شرایط مرزی به‌صورت مختلط و پیچیده در می‌آیند .
بعد از لمب محققان زیادی در زمینه انتشار امواج در محیط‌های ایزوتروپ تحقیق کرده‌اند و تحقیقات گسترده‌ای را ارائه کرده‌اند که از آن جمله می‌توان اشخاص زیر را برشمرد:
[Achenbach (1973), Apsel (1979), Aki and Richards (1980), Apsel and Luco (1983), Micklowitz (1984), Pak (1987)]
انتشار امواج در محیط‌های ناهمسان در گذشته کمتر مورد توجه قرار گرفته است. در حال حاضر با توجه به ‌استفاده روز افزون از مواد ناهمسان نیاز به ‌تحقیقات در زمینه انتشار امواج در این محیط‌ها بیشتر احساس می‌شود. برای مثال مواد کامپوزیت که در سال‌های اخیر در زمینه علوم مهندسی کاربرد گسترده‌ای یافته‌اند دارای خاصیت نا‌همسانی می‌باشند. از سوی دیگر در زمین‌هایی که خاک تحت اثر نیروی ثقل رسوب کرده است و نهشته‌های طبیعی سربار شده روی هم تشکیل داده است، خاصیت ناهمـسانی وجود دارد.
اما با توجه به ‌ملاحظات کاربردی در زمینه مهندسی محیط‌های ناهمسان معمولاً به‌صورت ایزوتروپ جانبی و یا ارتوتروپیک مدل‌سازی می‌شوند. یکی از بررسی‌های اولیه در زمینه انتشار امواج در محیط‌های ایزوتروپ جانبی توسط Stoneley در سال 1949 انجام گرفته است [2]. او نشان داد که وجود مواد با خاصیت ایزوتروپ جانبی می‌تواند منجر به ‌تفاوت‌های قابل توجـهی در زمینه انــتشار امواج نسبت به ‌مواد ایزوتروپ گـردد.
Synge در سال 1957، انتشار امواج ریلی در محیط‌های ایزوتروپ جانبی را بررسی کرده است و نتیجه گرفته که این امواج فقط در صورتی در این محیط‌ها منتشر می‌شوند که محور ایزوتروپی محیط یا عمود بر سطح آزاد و یا موازی این سطح باشد [3]. همچنین او بیان داشته است که امواج ریلی معمولی (در محیط‌های ایزوتروپ) موازی سطح آزاد محیط منتـشر می‌شوند در حالی‌که امواج ریلی کلی (در محیـط‌های نا‌ایزوتروپ) می‌توانند با شیب نسبت به ‌سطح آزاد منتشر شوند [3].
Rajapakse و Wang در سال1991 تغییرمکان‌ها و تنش‌های ناشی از ارتعاش هارمونیک یک جسم صلب در یک محیط ارتوتروپ دو بعدی را به‌دست آورده‌اند [4]. همچنین آنها تغییرمکان‌ها و تنش‌های ناشی از ارتعاش هارمونیک نیروی موثر بر پیرامون یک دایره مدفون در یک محیط ایزوتروپ جانبی را در حالت سه بعدی تعیین کرده‌اند [5]. در این مقاله، آنها دستگاه معادلات حرکت را با استفاده از سه تابع پتانسیل به ‌دو معادله درگیر و یک معادله مستقل تبدیل کرده و بدون اثبات کامل بودن توابع پتانسیل اختیار شده معادلات به‌دست آمده را با استفاده از تبدیلات انتگرالی حل کرده‌اند.
رحیمیان و همکاران [16] مسأله لمب را برای محیط ایزوتروپ جانبی پیگیری کرده و معادلات حرکت را با استفاده از توابع پتانسیل اسکندری قادی [7] به‌صورت مستقل در‌آوردند. معادلات به‌دست آمده از توابع پتانسیل را به ‌کمک سری فوریه در امتداد زاویه‌ای و تبدیل هنکل در امتداد شعاعی در یک دستگاه مختصات استوانه‌ای حل کردند. اسکندری قادی و همکاران [8] نیز یک نیم‌فضای ایزوتروپ جانبی متشکل از یک لایه فوقانی و یک محیط نیمه بی‌نهایت تحتانی با رفتار ایزوتروپ جانبی تحت اثر نیروهای سطحی هارمونیکی را تجزیه وتحلیل کرده و با استفاده از توابع پتانسیل ارائه شده توسط اسکندری قادی حل کردهاند.
تعیین توابع امپدانس مربوط به شالوده های مستقر بر محیط نیم بینهایت از مسائلی است که مورد توجه مهندسین ساختمان و محققین ریاضی کاربردی بوده است. اسکندری قادی و همکاران در سال های 2010، 2011 و 2012 توابع امپدانس قائم و خمشی شالوده دایرهای صلب مستقر بر محیط ایزوتروپ جانبی به روش تحلیلی و با حل معادلات انتگرالی دوگانه حل کردهاند. همچنین اسکندری قادی و همکاران توابع امپدانس افقی و خمشی را برای شالوده صلب مستطیلی مستقر بر محیط ایزوتروپ جانبی را با فرض شرایط مرزی مستقل و به کمک ترکیب روش های تحلیلی و عددی بهدست آوردهاند.
در این پایان‌نامه در ابتدا معادلات حاکم شامل معادلات تعادل، روابط تنش-کرنش یا معادلات رفتاری و روابط کرنش-تغییرمکان در سیستم مختصات استوانه‌ای بیان شده و در ادامه معادلات حرکت بر حسب مولفه‌های بردار تغییرمکان به‌دست می‌آیند. این معادلات یک دسته معادلات دیفرانسیل درگیر با مشتقات جزئی می‌باشند که برای مجزا‌سازی آنها از توابع پتانسیل ارائه شده توسط اسکندری قادی در سال 2005 استفاده می‌شود. در ادامه به ‌کمک سری فوریه و تبدیل هنکل توابع پتانسیل در فضای تبدیل یافته به‌دست می‌آیند.
با استفاده از روابط تغییرمکان-توابع پتانسیل، تغییرمکان‌ها و تنش‌ها در فضای تبدیل‌یافته به‌دست می‌آیند. استفاده از سری فوریه و قضیه تبدیل معکوس، این توابع را در فضای واقعی به‌صورت انتگرالی در اختیار قرار می‌دهد. این نتایج برای نیروی متمرکز با امتداد دلخواه موثر بر محل دلخواه در سطح نوشته می‌شوند تا توابع گرین تغییرمکان و تنش به‌دست آیند. با استفاده از توابع گرین به‌دست آمده و نیز استفاده از اصل جمع آثار قوا، تغییرمکان‌های هر نقطه ناشی از نیروی سطحی موثر بر هر سطح دلخواه از جمله سطح مستطیلی به‌دست می‌آیند. مجموعه تغییر مکان های افقی صلب و قائم ناشی از دوران صفحه صلب هر نقطه از صفحه بر حسب تغییر مکان افقی مرکز سطح صفحه، ، و دوران کل صفحه حول محور افقی گذرنده از مرکز سطح، ، به عنوان شرایط مرزی نوشته میشوند. تنش ها نیز در سطح نیم فضا و در خارج از محل صفحه مستطیلی به عنوان شرایط مرزی معلوم میباشند.شرایط در دوردست نیز شرایط مرزی باقیمانده این مساله میباشند. با توجه به اینکه از تبدیل انتگرالی برای حل معادله دیفرانسیل حاکم بر توابع پتانسیل استفاده شده است، شرایط مرزی در سطح نیم فضا به صورت یک جفت معادله انتگرالی دوگانه که درگیر میباشند در میآیند. از آنجایی که هندسه مربوط به شالوده پیچیده بوده و با یک سطح مختصات تعریف نمیشود، حل تحلیلی معادلات انتگرالی دوگانه بسیار پیچیده میباشد. لذا با بکارگیری روش اجزا محدود در محدوده تماس شالوده و نیم فضا، مجموعه معادلات انتگرالی فوق به صورت دستگاه معادلات جبری نوشته شده و توابع مجهول شامل تنش تماسی افقی و قائم در نقاط گره ای بهدست میآیند. از آنجایی که شالوده صلب میباشد، این تنش های تماسی در لبه ها و گوشههای شالوده رفتار تکین داشته و لذا با استفاده از توابع شکلی که قابلیت مدلسازی رفتار تکین را دارند، تنشهای تماسی طوری بهدست میآیند که این رفتار را مدلسازی نمایند. پس از تعیین تنش های تماسی میتوان نیروی افقی کل و نیز گشتاور لازم برای تغییر مکان های فوق الذکر را تعیین کرد. به این ترتیب بردار تغییر مکان کل صفحه و نیروهای کل مربوطه در اختیار میباشد. ماتریس تبدیل بردار تغییر مکان به بردار نیروهای کل (نیروی افقی و گشتاور خمشی) را ماتریس امپدانس مینامیم. با برقراری ارتباط دو بردار فوق، این ماتریس تعیین میشود. این ماتریس شامل 4 درایه ، ، و است که به ترتیب تابع امپدانس افقی، تابع امپدانس خمشی یا گهوارهای و تابع امپدانس توام افقی- گهوارهای نام دارند. نشان داده می‌شود که نتایج به‌دست آمده حاصل از این روش برای محیط ایزوتروپ بر نتایج قبلی ارائه شده توسط Luco و Mita و گوییزینا منطبق است [10]. همچنین در این پایان‌نامه، نتایج برای حالت استاتیکی با حدگیری از نتایج اصلی، به‌دست می‌آیند. در صورتی‌که و رفتار محیط به‌سمت ایزوتروپ میل کند، نتایج استاتیکی برای محیط ایزوتروپ به‌دست می‌آیند. برای نشان دادن اثر میزان ناهمسانی نتایج عددی برای محیط‌های ایزوتروپ جانبی با ناهمسانی متفاوت ارائه شده و اختلاف نتایج مورد بحث قرار می‌گیرد.
1-2- بیان مسأله و معادلات حاکم
محیط نیمه متناهی ارتجاعی با رفتار ایزوتروپ جانبی را در دستگاه مختصات استوانه‌ای چنان در نظر می‌گیریم که محور عمود بر صفحه ایزوتروپی باشد. این محیط تحت اثر نیروی هارمونیکی دلخواه موثر بر صفحه در z=0 قرار می گیرد (شکل 1-5). اگر ، و مولفه های نیروی به ترتیب در امتدادهای ، و باشند، شرایط مرزی مساله در سطح z=0 به صورت زیر در میآیند:

Share