روش حداقل مربعات

روش حداقل مربعات

مساله پیش بینی، پیرامون تعیین
مساله فیلترینگ، پیرامون تعیین
مساله هموار سازی تاخیر ثابت، پیرامون تعیین که در آن p≥1تاخیر ثابت است؛
مساله هموارسازی کل دامنه، پیرامون تعیین که در آن سری کامل اندازه گیری ها است.
پیشبینی و هموارسازی
مدل به ما اجازهی پیشبینی یک گام جلوتر از اندازهگیری را میدهد، در هر تکرار تخمین بهینهی حالت آینده را حفظ میکنیم.همچنین میتوانیم حالت را در یک نقطه قبل از اندازهگیری تخمین بزنیم که به عنوان هموارسازی شناخته میشود.
این کار تنها با مساله فیلترینگ سر و کار دارد. با فرض در دسترس بودن ، چگالی احتمال خلفی با کمک فیلتر بیزی در دو مرحله به دست می آید: پیش بینی و به روز رسانی، طبق شکل 12.
شکل12
مسالهی تخمین حالت پایدار در تخمین خطی مطرح میشود و با سیستمهای غیر متغیر با زمان شرح داده شده توسط معادلات فضای حالت زیر همراه است:
که در آن x(k) بردار حالت n بعدی در زمان k است، z(k) بردار اندازهگیری m بعدی است، F ماتریس n×n انتقال سیستم است، H ماتریس خروجی n×m است، {w(k)} و {v(k)} فرایندهای تصادفی سفید با متوسط صفر گاوسی و ناهمبسته هستند، Q و R به ترتیب ماتریسهای ماشین و کوواریانس نویز اندازهگیری هستند، x(0) فرایند تصادفی گاوسی با متوسط و کوواریانس و x(0)، {w(k)} و {v(k)} مستقل هستند. مسالهی فیلترینگ/ تخمین این است که تخمینی در زمان L از بردار حالت با استفاده از اندازهگیریهای تا زمان L تولید شود، یعنی هدف استفاده از مجموعه اندازهگیریهای {z(1),…,z(L)} به منظور محاسبهی مقدار تخمین x(L/L) از بردار حالت x(L) است.
فیلترهای کالمن و ذره ای به کار رفته در زیر مورد بحث قرار می گیرند.
فیلتر کالمن
در سال 1960، رودلف امیل کالمن با استفاده از متدهای فضای حالت، روش حداقل مربعات خطا (MMSE) را به عنوان یکی از روشهای فیلترینگ تدوین نمود. از خصوصیات اصلی معادلات فیلتر کالمن و حل آنها میتوان به مدل کردن پروسه های تصادفی و نیز پردازش بازگشتی برای داده های اندازه گیری اضافه شده با نویز اشاره کرد. فیلتر کالمن عموما روشی برای حذف نویز تصادفی و داده های انحرافی می باشد. در این روش، از خصوصیات آماری مدل اندازه گیری برای تخمین بازگشتی داده مورد نیاز استفاده میشود. فیلتر کالمن به طور گسترده در فرآیند پردازش داده در پروسه های دینامیکی به کار میرود و کارایی روش بازگشتی آن برای سیستم های چند سنسوری به اثبات رسیده است.
مهمترین مرحله در بکارگیری فیلتر کالمن، یافتن مدل فضای حالت فرآیند تصادفی می باشد، که اینکار با استفاده از معادلات دینامیکی و سینماتیکی موجود برای فرآیند تصادفی تحت بررسی امکان پذیر است. با توجه به اینکه فرآیند را گسسته یا پیوسته در نظر بگیریم و همچنین چگونگی اندازه گیری خروجی، فیلتر کالمن به سه دسته تقسیم میشود، فیلتر کالمن زمان گسسته که معادله فرآیند واندازه گیری ها هر دو گسسته می باشد، فیلتر کالمن زمان پیوسته که معادله فرآیند و اندازه گیری ها هر دو پیوسته می باشد و فیلتر کالمن پیوسته –گسسته که درآن معادله فرآیند، پیوسته در نظر گرفته می شود ولی اندازه گیری ها بصورت گسسته انجام می شود. در ادامه به توضیح درباره یافتن الگوریتم فیلتر کالمن زمان گسسته می پردازیم.
چگونه یک سیستم دینامیک (خطی یا غیرخطی) شرح داده میـشود؟ مفهوم بنیادی، مفهموم حالت است. با این معنا، به طور مستقیم، برخی از اطلاعات (مجموعهای از اعداد، یک تابع و غیره) که حداقل مقداری از داده است را باید در مورد رفتار گذشتهی سیستم دانست تا بتوان رفتار آیندهی آن را پیشبینی کرد. یک سیستم دینامیکی خطی به طور کلی توسط معادله بردار دیفرانسیل تفسیر میشود
و
که در آن x یک n- بردار ، حالت سیستم است (اجزای از x متغیرهای حالت نامیده میشوند)؛ u(t) یک m- بردار نشاندهندهی ورودیهای سیستم، F(t) و D(t) به ترتیب ماتریسهای n×n و n×m هستند. F نشاندهندهی دینامیک است، D محدودیت موثر بر حالت سیستم توسط ورودی، و M محدودیت در مشاهده حالت سیستم از خروجی است. برای سیستمهای تک ورودی/ تک خروجی، D و M به ترتیب شامل یک سطر و ستون است. اگر همهی ضرائب F(t)، D(t) و M(t) ثابت باشند، میگوییم سیستم دینامیکی غیر متغیر با زمان یا ثابت است. در نهایت، y(t) یک p- بردار است که بر خروجی سیستم دلالت دارد؛ M(t) یک ماتریس p×n است؛ .
نگاهی به بلوک دیاگرام شکل 5 مفید است. این بلوک دیاگرام ماتریس است (همانطور که نشان داده شده خطوط پهن نمایشدهندهی جریان سیگنال است). انتگرالگیر در واقع برای n انتگرال توقف میکند به طوری که خروجی هر یک، یک متغیر حالت است؛ F(t) نشاندهندهی این است که خروجی انتگرالگیرها چگونه به ورودی انتگرالگیر تغذیه میشوند. بنابراین ضریبی است که با آن خروجی انتگرالگیر jام به ورودی انتگرالگیر iام تغذیه میشود[13].
شکل13

Share