خانواده

فرض کنیم از ان جایی که ، یک حالت محض است (چون طبق تعریف1-5-6 قسمت (1) نمایش تحویل ناپذیر است. چون تحویل ناپذیر‌است و توسط القا می شود. هم چنین وقتی که ها درایه‌های هستند بنابراین طبق لم 3-1-2 عنصر مثبت در موجود است به طوری که :
چون پس :
حتی اگر را با یک تصویر طیفی مناسب در ، جابجا کنیم می‌توان فرض کرد که خود یک تصویر است (با دانستن این مطلب که یک جبر فون نویمان است و جزئیات اثبات قضیه 3-2 از [11]، این مطلب نشان داده‌شده‌است) حال از آن جایی که یک عامل است، خانواده‌ای از طول پاهای جزئی موجودند به طوری که و . چون که یک عامل است و مرکز آن مجموعه ی می باشد هم چنین طبق تعریف 1-3-8 عضو این مجموعه است پس . از طرفی طبق تعریف 1-3-8، پس باید لذا و. به همین ترتیب در نتیجه .
اکنون طبق گزاره 12-3-6 از [9] چون عامل است و ، تصویرهایی هم ارز با چون موجودند به طوری که و چون یک تصویر است لذا طبق گزاره 1-1-4 خانواده‌ای از طولپاهای جزئی در موجودند به طوری که . در نتیجه طبق تعریف هم ارزی با ، و . اکنون رابطه ( 3-3 ) به صورت زیر تبدیل می‌شود :
پس چون نتیجه می شود که :
از طرفی :
پس :
بنابراین اگر ماتریس‌های قطری باشند که ها روی قطر اصلی آن هستند آن‌گاه :
که این فاصله از تقریباً برابر صفر است (چون ) بنابراین چون :
پس .
اکنون یک شرایط کلی‌تر را در نظر می‌گیریم یعنی وقتی که جمع مستقیم خانواده ای از نمایش‌های تحویل ناپذیر است. آن‌گاه با توجه به تجزیه را می‌توان به فرم نشان داد (یعنی یک بردار ستونی که ممکن است نامتناهی نیز باشد) که هر و یک تجزیه قطری به شکل دارد که به طوری که طولپا است. این امر ممکن است چون اگر نامتناهی البعد باشد ان گاه . در واقع اگر ان گاه چون پس متناهی البعد است از طرفی یک نمایش است پس متناهی البعد می شود که متناقض با نا متناهی البعد بودن است. حتی اگر متناهی‌البعد باشد . چون پس از طرفی یک‌به‌یک است لذا پس باید . بنابر این را نیز می توان طولپا در نظر گرفت.
لذا طبق همان مراحل قبلی و اینکه :
از آن جایی که ها تحویل ناپذیرند و طولپا، مشابه قسمت قبلی نتیجه می‌شود که . هم چنین لذا :
در نتیجه :
در نهایت، در حالت کلی ما می توانیم نگاشت را در توپولوژی نرم- نقطه به وسیله نگاشت‌هایی به شکل ، که جمع مستقیم نمایش‌های تحویل ناپذیر است، تقریب بزنیم.
برای داشتن چنین تقریبی می توان از این حقیقت استفاده کرد که هر حالت روی را می‌توان در توپولوژی ضعیف ستاره با ترکیب‌های محدب از حالت‌های محض تقریب زد (] 17[ نتیجه 5-1-10 هر ترکیب – محدب یک ترکیب محدب است). هم چنین طبق تعریف 1-5-6 یک حالت، محض است اگر و فقط اگر نمایش ، ، تحویل ناپذیر باشد وقتی که یک حالت روی است و یک تابعک خطی مثبت نیز است. از طرفی یک نگاشت کاملاً مثبت از به یک *- همومورفیسم است پس می توان ان را به عنوان یک نمایش در نظر گرفت که تابعک خطی مثبت (حالت ) یک نمایش را روی ان القا می کند ([13]، فصل 5).
بنابراین در هر حالت ، لذا ( چون طبق تعریف، ).
اکنون فرض کنیم یک زیر مجموعه محدب فشرده ی ضعیف ستاره از باشد و یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی آن‌گاه :

3-2 نقاط – فرین مجموعه‌های محدب فشرده ی ضعیف ستاره:
تعریف 3-2-1: فرض کنیم دو جبر فون نویمان باشند که روی فضای هیلبرت عمل می‌کنند و . فرض کنیم یک نگاشت خطی مثبت از به باشد به طوری که و برای هر و ،. هم چنین برای همه هایی که در قرار دارند :
1) .
2) با در نظر گرفتن عنصر از ، .
3) .

                                                    .