بهینه سازی

بهینه سازی

که در آن . نحوه بدست آمدن آماره با استفاده از قضیه 2-1 و شبیه روش ارائه شده در قسمت 2-3 می باشد. نیری و رائو (2003) نشان دادند که تحت فرض صفر، به صورت مجانبی دارای توزیع کای دو با درجه آزادی است و فرض صفر زمانی رد می شود که . این آماره از لحاظ محاسباتی راحت است ولی همچنان که خواهیم دید از دیدگاه خطای نوع اول عملکرد مطلوبی برای حجم نمونه های کم ندارد. روش جدید پیشنهادی ما استفاده از تکنیک بوت استراپ پارامتری برای آماره می باشد. یعنی آماره بوت استراپ را به صورت زیر در نظر می گیریم.
که در آن، ، ، و برآوردگری مناسب برای مقدار مشترک ها می باشد. این برآوردگر می تواند میانگین وزنی ها یعنی یا برآورد ماکزیمم درستنمایی باشد. شبیه سازی ها نشان می دهند بر خلاف روش کاظمی و جعفری (2013)، در روش جدید پیشنهادی ما تفاوتی در استفاده از و برآوردگر ماکزیمم درستنمایی نیست. لذا به مانند روش کاظمی و جعفری (2013) مجبور به یافتن برآوردگر ماکزیمم درستنمایی با استفاده از روشهای عددی نیستیم. واضح است استفاده از به عنوان برآورد ، بسیار راحت تر خواهد بود. لازم به ذکر است که آماره با اثباتی شبیه به قضیه 2-2 نسبت به پارامتر مقیاس پایا است. پس بدون از دست دادن کلیت مسئله فرض شده است که . همچنین مانند قسمت 2-4 می توان نشان داد که برخلاف آماره ارائه شده توسط جعفری و کاظمی (2013)، تحت فرض صفر دارای توزیع مجانبی کای دو با درجه آزادی است. بنابراین در روش پیشنهادی ما، در سطح فرض صفر رد می شود اگر
که در آن مقدار مشاهده شده ی است. پیشنهاد ما برای محاسبه p- مقدار استفاده از روش بوت استراپ پارامتری است. یعنی به دفعات زیاد از تحت مشاهده تولید می کنیم و تعداد دفعاتی که مشاهدات تولید شده بیشتر از هستند به عنوان برآوردی برای p- مقدار ارائه می شود. (برای الگوریتم محاسبه P- مقدار ، فصل 4 را ملاحظه کنید).
کریشنامورتی و میسوک لی نیز در سال 2014 آزمون بهینه شده ی نسبت درستنمایی را برای این مسئله بکار گرفتند که بدلیل عملکرد نسبتا مناسب این روش، ما آن را نیز به اختصار معرفی می کنیم.
3-2- روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014)
در این روش آماره آزمون نسبت درستنمایی بهینه سازی شده است. لگاریتم تابع درستنمایی بر اساس جامعه نرمال تحت فرض صفر و بعد از حذف نمودن مقادیر ثابت به صورت زیر می باشد:
که در آن و مقدار مشترک ضرایب تغییرات تحت می باشد. همانطور که قبلا ذکر شد برآورد ماکزیمم درستنمایی و به صورت صریح قابل محاسبه نیستند و برای بدست آوردن آن ها باید از روشهای عددی استفاده نمود. در نهایت آماره آزمون نسبت درستنمایی به صورت زیر حاصل می گردد:
که در آن و برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی تحت فرض صفر برای و و برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی تحت فضای کلی پارامتر هستند. برای جزییات بیشتر به کریشنامورتی و میسوک لی (2014)مراجعه گردد. اگر میانگین و واریانس را به ترتیب با و نشان دهیم آماره بهینه شده ی روش نسبت درستنمایی به صورت زیر خواهد بود:
که تحت دارای توزیع تقریبی می باشد. اما چون بدست آوردن و مشکل می باشد با استفاده از نمونه گیری به روش بوت استراپ پارامتری می توان آنها را برآورد کرد. به این صورت که نخست از و مشاهداتی تولید و کمیت زیر محاسبه می شود
که در آن ، و برآوردگر های ماکزیمم درستنمایی بر اساس مشاهدات بوت استراپ تولید شده از و هستند. سپس میانگین و واریانس ها یعنی و ، به ترتیب تقریبی برای و خواهند بود که این خود مستلزم استفاده مجدد از روش درستنمایی ماکزیمم (و روش های عددی جهت یافتن آن ها) در نمونه های بوت استراپ می باشد. در روش کریشنامورتی و میسوک لی (2014) در سطح فرض صفر زمانی رد می شود وقتی که
که در آن چندک ام از توزیع کای مربع با در جه آزادی است.
3-3- تفاوت های روش جدید پیشنهادی با دو روش اخیر
در اینجا لازم است که تفاوت های عمده روش جدید پیشنهادی ما با روش جعفری و کاظمی (2013) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) بیان گردد.
الف- بر خلاف ظاهر آماره آزمون جعفری و کاظمی (2013) و همچنین بر خلاف آنچه که جعفری و کاظمی (2013) در مقاله خود بیان داشته اند به نظر می آید آماره در عبارت (1) تحت فرض دارای توزیع خی دو با درجه آزادی نمی باشد. با استفاده از واریانس تقریبی می توان نشان داد با در نظر گرفتن ضریب برای ، این آماره به صورت مجانبی تحت فرض صفر دارای توزیع خی دو با درجه آزادی می شود یعنی
این در حالی است که آماره آزمون پیشنهادی ما بر اساس ساختار آماره آزمون والد تحت فرض دارای توزیع مجانبی خی دو با درجه آزادی است. این نتیجه که آماره جعفری و کاظمی (2013) دارای توزیع خی دو نیست ابتدا در شبیه سازی ها بدست آمد. در شبیه سازی مشاهده گردید که آماره جعفری و کاظمی (2013) مقادیر بسیار بزرگی بدست می دهد که سازگاری با مقادیر توزیع خی دو مثلا با 4 یا 5 درجه آزادی ندارد.
برای مثال زمانی که و (0/1,0/1,0/1) از آماره جعفری و کاظمی (2013) قبل و بعد از ضرب نمودن ضریب در آماره، 10000 مشاهده تولید شده است و بافت نگار آن ها را رسم کرده ایم و آن را با بافت نگار حاصل از 10000 مقدار مشاهده شده از توزیع خی دو با درجه آزادی مقایسه می نماییم.
شکل1. تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013)
شکل 2و3. تخمین چگالی آماره جعفری و کاظمی (2013) بعد از ضرب نمون ضریب و چگالی خی
دو با دو درجه آزادی
مشاهده می شود که آماره جعفری وکاظمی (2013) بعد از ضرب نمودن ضریب، به چگالی خی دو شبیه می شود.
2- عمده ترین تفاوت روش جدید پیشنهادی ما و جعفری و کاظمی (2013) ، عملکرد آن ها در کنترل خطای نوع اول بر اساس شبیه سازی ها می باشد.. جعفری و کاظمی (2013) دو برآوردگر برای مقدار مشترک ضرایب تغییرات ارایه دادند. در صورت استفاده از برآوردگر وزنی برای برآورد ، روش جعفری و کاظمی (2013) عملکرد بسیار ضعیفی در برآورد خطای نوع اول خواهد داشت و در بسیاری موارد مقدار صفر را به عنوان برآورد خطای نوع اول ارائه می دهد.(فصل 4 جدول 3و4 را ملاحظه کنید). پس زمانی که فقط اطلاعات میانگین و واریانس نمونه ای موجود می باشد(وقتی که خود مشاهدات در دسترس نیست) استفاده از این روش مناسب نمی باشد. در صورت استفاده از برآورد ماکزیمم درستنمایی برای ، عملکرد این روش در برآورد خطای نوع اول کمی بهبود می یابد اما باز هم در برخی موارد مقادیر بسیار کوچکی را به عنوان برآورد خطای نوع اول ارائه می دهد (فصل 4 جدول 3و4 را ملاحظه کنید). لازم به ذکر است که کاهش خطای نوع اول باعث کاهش توان آزمون می شود.
3- در روش جدید پیشنهادی ما تفاوتی در استفاده از برآوردگر وزنی یا ماکزیمم درستنمایی برای نیست. پر واضح است که در روش پیشنهادی ما استفاده از برآوردگر وزنی بسیار راحت تر از استفاده از برآوردگر ماکزیمم درستنمایی برای برآورد مقدار مشترک ضرایب تغییرات یعنی خواهد بود زیرا برآورد ماکزیمم درستنمایی به صورت صریح بدست نمی آید و باید به صورت عددی محاسبه گردد. لذا ما به مانند روش های جعفری و کاظمی (2013) و کریشنامورتی و میسوک لی (2014) مجبور به یافتن برآورد ماکزیمم درستنمایی برای نیستیم.

Share