استقرار

استقرار

در آخر طولپای کلی میتواند به عملگر یکانی روی گسترش یابد که . چون با تعریف به یک طولپای پوشا روی تبدیل می‌شود پس روی یک عملگر یکانی است (طبق [16] قضیه 18-2 صفحه 35) بنابراین اثبات با پذیرفتن بحث قبلی پیرامون به جای، کامل میشود. ■
گزاره 4-4-2: اگر و جایی که آن گاه .
اثبات:
اول فرض کنیم موجود است به طوری که و ( جمع مستقیم کپی از است). چون پس یک نقطه ی فرین تحویلناپذیر از است و طبق ملاحظه 4-2-5، یک نقطه ی فرین از است.
مشاهده میکنیم که ایزومورفیسم کانونی و را با مشخص میکند در واقع اگر فرض کنیم ، بنابر این ، کپی از است که به صورت نمایش داده می شود و در قرار دارد از طرفی چون:
اکنون چون ، -محدب است و هم چنین لذا :
بنابراین و نگاشت با تعریف،
یک نگاشت ایزومورفیسم است که را با مشخص می کند.
لذا طبق لم 4-1-5 و قضیه 3-1-2 که کار برد لم 4-1-5 را تصدیق میکند، نتیجه میشود که . چون و پس و با تعریف یک نگاشت کاملاً مثبت یکانی است که . چون به ازای هر ، در می‌افتد که پس .
چون یک تصویر است پس طبق گزاره 1-1-3، مثبت است در نتیجه یک تابع مثبت است و که ,و مثبت نیز است. چون اگرمثبت باشد آنگاه :
که چونو مثبت هستند نیز مثبت است. هم چنین :
لذا در نتیجه . بنابراین حالا میتوانیم فرض کنیم که لزوماً همه جمعوندهای از، متقابلاً هم ارز یکانی نیستند پس میتوان مجموعه را به دو قسمت و تقسیم کرد به طوری که اگر و آن گاه . قرار میدهیم :
و فرض میکنیم و. با استقرار روی بعد میتوانیم فرض کنیم که :
فرض میکنیم که و و مثبت و معکوس پذیر هستند. با توجه به تجزیه و به طوری که و و فرض اینکه و (تجزیههای قطری و ) آن گاه با فرض دو بلوک قطری که یکی و دیگری است از اینکه نتیجه می‌شود که :
چون که :
اکنون از آنجایی که نتیجه میشود که :
و و و
و از آن جایی که معکوس پذیر است و پس یک به یک است لذامعکوسپذیر است و چون پس یکانی است (طبق نکته 2-2-6) و چون فضا متناهی البعد است، یکانیها با طولپاها یکی هستند لذا به طور مشابه نیز روی یک طولپا است. بنابراین اینکه و نتیجه می‌دهد که طبق لم 4-4-1 یکانیهای موجودند به طوری که :
و
و و ماتریس هستند:
با قرار دادن از عبارت بالا نتیجه میشود که :
و
پس :
از طرفی چون هیچ جمعوند تحویلناپذیر از با هیچ جمعوند تحویلناپذیر از ، هم ارز یکانی نیست لذا تنها عملگری که نمایشهای همانی و را در هم میپیچد، است. چون طبق ] 9 [ فصل 4، و جبرهای تولید شده توسط و هستند لذا هر عضو به صورت چند جمله ای در است و هر عضو به صورت یک چند جمله ای ،در نیز است. فرض کنیم، و نمایش هایی روی و باشند که،

Share